3の倍数は、各桁の数字の合計も3の倍数になる、ってのを数式として証明できんと、気分が晴れんかったんで、その事がずっと引っかかっていたんだけど……不意に、こう表現すれば良いじゃんか、って気がついたもんで、取り敢えずやれる限りやってみる。
この間の数式は、100a＋10b＋c＝3mとa+b+c=3nの二本。この二本の式に共通する条件は、a、b、cは、それぞれ0〜9の整数で、mとnは自然数0以上の整数。基本的には、m≠nとする。
- 100a＋10b＋c＝3m
- (99+1)a＋(9+1)b＋c＝3m
- 99a＋a＋9b＋b＋c＝3m
- a＋b＋c＝3(m-33a-3b)*1
……和の方から、3って係数が消えませんでしたな。各桁の合計が、3の倍数になれば、それは3の倍数なんじゃないか……orz
このことに、今更気がついた俺って、なんなんだろ……如何に数学やら算数やらを真面目に受けてなかったのかがよく判りますな。
取り敢えず、検算でもしてみる？
さてと、結構見落としがちな数字でも適当に当て嵌めてみて、検算してみようかと。
138の場合は、aが1、bが3、cが8。mは46か。なので、m-33a-3bは、46-33-9=4。よって12。
1+3+8も、同様に12と。この順番を入れ替えた831、813、381、318、183も、それぞれ……ってか、813と318と183は、検算する必要ないね？
813は、810*2+3、318は300+18、183は、180+3となって、それぞれ、「3の倍数+3の倍数」の形をとるから、
3m+3n=3(m+n)となって、結局3の倍数。
831は、810と21。381は、390-9または、360+21。となって、それぞれ3m+3nまたは、3m-3nの形に変形することができるので、結局3の倍数。
……例外、ないっぽいね。
a=b=cとなる、111、222、333……の場合はどうなるのか？ って聴かれそうだけど、基本となる111が、3×37（90+21で、30+7に変形可能）で、3の倍数。後は、それのn倍として表現されている形なので、全て3の倍数となると。
